> Paradokser og paradigmer > Mat.-logiske paradokser Udskriv denne side
     
Paradokser og
paradigmer

Hvad er et paradoks?

Paradokser
i fysik

Hvor ved vi
det fra?

         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Hvad er et
paradoks? (2)

Eksempler på matematisk-logiske paradokser

 

Beskåret illustration fra Lewis Carroll: "Alice i Æventyrland og Bag Spejlet", Thorkild Becks Forlag, København, 1946

Alice møder Humpty Dumpty (Klumpe-Dumpe) og får en ret absurd - eller paradoksal - samtale med ham.

Raymond Smullyan har i "Alice in Puzzle-Land" spundet videre:
(William Morrow and Company, Inc., New York 1982)

Humpty Dumpty: " --- hvis jeg skulle eksaminere dig, så ville jeg kun stille dig spørgsmål som ikke har noget svar - de er de bedste!"

Alice: "Hvad skulle formålet være med at stille spørgsmål som ikke har noget svar?"

Humpty Dumpty: "Det er den slags spørgsmål som kan få dig til at tænke!"

Alice: "Tænke på hvad?"

Humpty Dumpty: "På hvad svaret kunne være."

Alice: "Men du sagde der ikke var noget svar."

Humpty Dumpty: "Det er der ikke - og det er det vidunderlige ved det!"

Alice: "Kan du give mig et eksempel på sådan et spørgsmål?"

Humpty Dumpty: "OK, her er et perfekt eksempel. Spørgsmålet er: Er Nej det korrekte svar til dette spørgsmål?"

Alice: "Til hvad for et spørgsmål?"

Humpty Dumpty: "Ja, til det spørgsmål jeg lige har stillet!"

Alice: "Hmm - så er svaret selvfølgelig Nej!"

Humpty Dumpty: "Der fik jeg dig!"

Alice: "Hvad mener du?"

Humpty Dumpty: "Du svarede Nej, gjorde du ikke?"

Alice: "Selvfølgelig gjorde jeg det!"

Humpty Dumpty: "Og dit svar var korrekt?"

Alice: "Helt sikkert, hvorfor ikke?"

Humpty Dumpty: "Jamen, siden du svarede Nej og dit svar var korrekt, så er Nej det korrekte svar til dette spørgsmål."

Alice: "Ja, det er jo netop hvad jeg siger!"

Humpty Dumpty: "Jamen, hvis Nej er det korrekte svar, så skulle du til mit spørgsmål om det var det korrekte svar jo have svaret Ja, ikke Nej!"

Alice: "Nåh ja, du har ret, jeg skulle have svaret Ja, ikke Nej!"

Humpty Dumpty: "Der fik jeg dig igen!"

Alice: "Hva'?"

Humpty Dumpty: "Hvis du svarer Ja, så bekræfter du jo at Nej er det korrekte svar, men hvis Nej er det korrekte svar, så skulle du jo have givet netop det svar og ikke det ukorrekte svar Ja!"

Alice: "Jeg giver op - hvad er det korrekte svar?"

Humpty Dumpty: "Der er ikke noget korrekt svar - det er netop det vidunderlige ved det! - Fik jeg dig så ikke også til at tænke?"

Alice: "Jo, i høj grad - er det spørgsmål her et eksempel på det man kalder et paradoks?"

Humpty Dumpty: "Det er det netop - det er et eksempel på udsagn som udtaler sig om deres egen gyldighed."

 

Digteren epimenides fra Kreta (6.årh.f.Kr.) skal have udtalt:

    (1)   Alt hvad folk fra Kreta siger er usandt  
    (2)   Den der udtaler (1) er fra Kreta  
    (3)   Derfor er (1) usandt  
    (4)   Derfor er ikke alt hvad folk fra Kreta siger usandt  

 

 

    (1)   Alle regler har undtagelser  
    (2)   Udsagn (1) er en regel  
    (3)   Derfor har (1) undtagelser  
    (4)   Derfor har ikke alle regler undtagelser  

 

Side 10 i en bestemt bog ser således ud:

- 10 -

Sætningen på side 10
i denne bog er falsk

Er sætningen på side 10 sand eller falsk?

Side 10 og 11 i en bestemt bog ser således ud:

- 10 -

Sætningen på side 11
i denne bog er falsk

 

- 11 -

Sætningen på side 10
i denne bog er sand

Er sætningen på side 11 sand eller falsk?

Paradokser af denne type hører til de "formelle videnskaber", logik og matematik.
Matematikeren og filosoffen Bertrand Russel beskæftigede sig med lignende paradokser i starten af 1900-tallet, og forsøgte at finde en vej uden om dem i sin teori om "de logiske typer".

Men i 1930'erne viste matematikeren Kurt Gödel at den slags paradokser kun kan opløses hvis man accepterer en begrænsning i hvad man kan forvente af et matematisk-logisk system.
Matematikken må (ligesom et spil) være modsigelsesfri - d.v.s. dens sætninger og aksiomer (spillets regler) må ikke stride mod hinanden.
Vi vil desuden gerne have at matematikken er fuldstændig - d.v.s. at alle sætninger kan bevises eller modbevises (for alle træk i spillet skal det kunne afgøres om de er lovlige eller ej).
Det lykkedes Gödel at vise at hvis matematikken skal være modsigelsesfri, så kan den ikke også være fuldstændig.

Læs evt. mere i Nagel og Newman: "Gödel's Proof", New York University Press, 1958, 9th. print. 1974.

Illustration fra Douglas R. Hofstadter: "Gödel, Escher, Bach - an Eternal Golden Braid", Basic Books, Inc., Publishers, New York, 1979

Se videre: Hvad er et paradoks? (3)

Opdateret 9-08-2009 , TM

 
Sidens top