> Paradokser og paradigmer > c + c = c ? Udskriv denne side
     
Paradokser og
paradigmer

Hvad er et paradoks?

Paradokser
i fysik

Hvor ved vi
det fra?

         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Paradokser i fysik

c + c = c ?

See also: English ed. of this

 

Illustration fra: "Mr. Tompkins i drømmeland eller historien om lille c, store G og lille h", George Gamow, Gyldendals Uglebøger, 1965 ("Mr. Tompkins in Wonderland or Stories of c, G and h")

Galilei-transformationen


Tegning fra Joseph Schwartz & Michael McGuinnes: "Einstein for begyndere", Basilisk, 1983

Et tog suser afsted med hastigheden v = 100  km/t.
En passager inde i togvognen går i samme retning som toget kører, med hastigheden w = 3 km/t i forhold til togvognen.
Så bevæger passageren sig i forhold til jorden med hastigheden u = v + w = 100 + 3 = 103 km/t.
Hvis passageren går i modsat retning af togets kørselsretning med hastigheden w = -3 km/t (minus fordi det er i modsat retning) fås passagerens hastighed i forhold til jorden til u = 100 + (-3) = 100 - 3 = 97 km/t.
Dette princip - at addere hastigheder - kaldes Galilei-transformationen efter Galileo Galilei (1564-1642).

Inertiens lov, inertial-systemer og relativitets-princippet

Galilei og senere Isaac Newton (1642-1727) formulerede inertiens lov:
En genstand der ikke påvirkes af nogen ydre kraft, vil være i hvile eller i jævn retliniet bevægelse.

Denne lov kan også benyttes til en definition af et 'inertial-system':
Et inertial-system er et system i hvilket inertiens lov gælder.

Men gælder inertiens lov ikke altid?
Nej, f.eks. ikke i et tog som accelererer eller drejer i en kurve, eller på en karrusel, eller på Jorden som drejer om sin akse. (Inertiens lov kan dog 'reddes' ved at indføre såkaldte 'fiktive kræfter').

Har man først fundet sig et inertial-system, kan man finde uendelig mange. Ethvert system som bevæger sig jævnt retliniet i forhold til det først fundne inertial-system, vil selv være et inertial-system.

I inertial-systemer gælder relativitets-princippet (også oprindeligt formuleret af Galilei og Newton):
Alle fysiske love har samme form i alle inertial-systemer.
Eller:
Man kan ikke internt i et inertial-system afgøre om dette bevæger sig eller står stille.
Kun ved at 'kigge ud' kan man afgøre om ens eget inertial-system bevæger sig relativt i forhold til et andet inertial-system.


Tegning fra L.D.Landau & G.B.Rumer: "Hvad er relativitet?", Munksgaard, 1963
Nogle af eksemplerne på denne side er bl.a. inspireret af denne bog.

En passager i et tog der kører jævnt og retliniet, kan ikke ved eksperimenter - som f.eks. at kaste en bold lodret op i luften - afgøre om toget kører eller står stille. Kun ved at kigge ud af vinduet kan det afgøres om toget bevæger sig relativt til f.eks. perronen. Toget er et inertial-system.


Tegning fra L.D.Landau & G.B.Rumer: "Hvad er relativitet?", Munksgaard, 1963

Hvis toget øger eller mindsker farten (accelererer positivt eller negativt) eller drejer i en kurve kan det mærkes inde i togvognen uden at kigge ud af vinduet, f.eks. som vist på tegningen. Toget er nu ikke et inertial-system.

Lysets paradoks og 'æteren'

James Clark Maxwell (1831-1879) formulerede 'Maxwell's ligninger' som samlede al viden om elektriske og magnetiske felter i fire ligninger . Hans ligninger indeholdt en interessant løsning:
Vekslende elektriske og magnetisk felter kan skabe en 'elektro-magnetisk bølge' med hastigheden c = 300.000 km/sek i vaccuum (det stof-tomme rum). Synligt lys er et eksempel på en sådan bølgeudbredelse, kaldet elektromagnetisk stråling.
Når vi bruger ordet "lys" i det følgende, står det for elektromagnetisk stråling i almindelighed.

Maxwell's ligninger viste også at lysets hastighed ikke afhænger af lysgiverens hastighed - i modsætning til hastigheden af en riffelkugle som afhænger af våbnets hastighed (på samme måde som ved hastigheds-additionen i passager-tog-eksemplet ovenfor).

Også lyd har den egenskab at lydens hastighed ikke afhænger af lydgiverens hastighed. Lyden forplanter sig altid i et stof, f.eks. luft, og lydens hastighed er en bestemt størrelse i forhold til dette stof.

Det er derfor nærliggende at forestille sig at også lys forplanter sig i et endnu ukendt 'stof'. Dette stof kaldtes 'æteren'. Denne æter må vi forestille os gennemtrænger hele universet, både vaccuum og de "almindeligt" kendte stoffer. (Vi kan jo se stjernernes lys selv om der næsten intet stof er mellem stjernerne og os).
(Lysets hastighed er mindre ved forplantning gennem "almindeligt" stof - dette er med til at forklare fænomener som brydning i f.eks. glas og vand).

Men så ryger relativitets-princippet sig en tur! For så kan vi inde i en togvogn afgøre om toget bevæger sig eller ej ved hjælp af et lysforsøg hvor vi måler lysets hastighed inde i toget (*1):

I et holdende tog har lyset en hastighed på c = 300.000 km/sek i forhold til både tog og perron.
Hvis nu toget kører med 240.000 km/sek, vil en lysstråle udsendt af en lampe i toget i togets bevægelsesretning have en hastighed på
300.000 km/sek i forhold til æteren og perronen,
men 300.000 - 240.000 = 60.000 km/sek i forhold til toget.
Tilsvarende vil en lysstråle udsendt modsat togets bevægelsesretning have en hastighed på
300.000 + 240.000 = 540.000 km/sek i forhold til toget.

Bemærk at noget tilsvarende ikke ville gælde ved affyring af en riffelkugle inde i toget, fordi riffelkuglens hastighed er konstant i forhold til våbnet og derfor afhænger af våbnets hastighed når skuddet observeres fra perronen.

Indvending: Kunne det ikke tænkes at æteren følger med toget?  I så fald ville lysets hastighed være 300.000 km/sek i alle retninger i forhold til toget uanset om det kører eller ej. Så ville relativitets-princippet være reddet. - Dette viser sig imidlertid at være i modstrid med eksperimenter som viser at lys ikke tager del i bevægelsen af de stoffer det bevæger sig igennem, f.eks. strømmende vand. (Lysets hastighed er mindre end c i vand, men afhænger ikke af vandets bevægelse).

Æter-teorien er 'sær', den kaldtes af nogle fysikere og filosoffer en 'ad-hoc teori' - en teori som bliver opfundet for lige at løse et bestemt problem, men som ikke ser ud til at indgå i de øvrige teoriers sammenhæng og som ikke fører til yderligere ny viden. Æter-teorien  betyder også at vi må opgive relativitets-princippet. Det er derfor fristende at opgive æter-teorien, men hvordan så finde en teori for lysets hastighed relativt i forhold til forskellige inerital-systemer?

Æter-teorien forkastes eksperimentelt og relativitets-princippet sejrer

I 1883 undersøgte Michelson og Morley om lysets hastighed målt i et laboratorium afhænger af om lysstrålen bevæger sig vinkelret på eller parallelt med Jordens bevægelse om Solen. Hvis æteren findes, skulle 'æter-vinden' som Jorden bevæger sig igennem, bevirke at disse to hastigheder afviger fra hinanden. Eksperimentet viste ingen afvigelse overhovedt.

  
Tegningerne er fra: http://en.wikipedia.org/wiki/Michelson_Morley_experiment (29-11-2005)

Set som et forsøg på at påvise 'æter-vinden' var dette eksperiment mislykket. Men dets 'nul-resultat' betød at vi indser at æteren næppe eksisterer og at lysets udbredelse ikke strider mod relativitets-princippet. Til gengæld har vi så ingen rigtig forståelse af lysets udbredelse - vi kan f.eks. ikke addere og subtrahere lysets hastighed som vi gjorde ovenfor i tog-eksemplet ved hjælp af Galilei-transformationen. Lysets hastighed ser ud til at være en absolut størrelse i modsætning til alle andre hastigheder.
Dette tilsyneladende paradoks skyldes måske at vi går ud fra nogle forudsætninger ('paradigmer') som ikke holder. Måske har vi anset noget andet for at være absolut som i virkeligheden er relativt? Hvad kan dette 'noget andet' være? Vi har en mistanke. Hastighed findes jo ud fra en vejlængde divideret med et tidsinterval, så hvis hastigheder bliver "sære", så må vel også længder og tider blive "sære" - måske relative?

I øvrigt er dette eksperiment interessant videnskabs-historisk. Hvis man havde været i stand til at udføre disse målinger på Galilei's tid kunne den katolske kirke have brugt resultatet til at stadfæste at Jorden står stille, og at Galilei's påstand, at Jorden kredser om Solen, må være forkert. I videnskabens udvikling står hverken eksperimenter eller teori alene, de følges hele tiden ad i en indbyrdes vekselvirkning.

Einsteins antagelser

I 1905 publicerer Albert Einstein (1879 - 1955) en artikel i fysik-tidsskriftet 'Annalen der Physik'. Artiklens titel er: 'Zur Elektrodynamik bewegter Körper' ('Om bevægede legemers elektrodynamik').

Første afsnit i Einsteins artikel i engelsk udgave (Adobe Reader pdf-fil):
On the Electrodynamics of moving bodies

Einstein viser her at Maxwell's elektromagnetiske ligninger ikke bevarer deres form (er ikke 'invariante') ved Galilei-transformationen mellem forskellige inertial-systemer. Det betyder at relativitets-princippet ikke er opfyldt.

Enten er der noget galt med Maxwell's teori eller med Galilei-transformationen.

Einstein forkaster æter-teorien og forsøger at løse problemet ved at gå ud fra to antagelser:

  1. Lysets hastighed i det tomme rum er c = 300.000 km/sek og uafhængig af såvel lysgiverens som lysmodtagerens hastighed.
  2. Relativitets-princippet gælder for alle inertial-systemer.

Af disse to antagelser er den første om lysets absolutte hastighed den mest 'overraskende'. Konsekvenserne af de to antagelser bliver at vi må give afkald på andre grundantagelser:

  1. Tid og rum er ikke absolutte, men relative størrelser.
  2. Galilei-transformationen må erstattes af en anden form for transformation

Maxwell's teori bevares, men Newton's klassiske mekanik må revideres, da den hviler på Galilei-transformationen. Vi må dog forvente at Newton's meget velbekræftede teori er god nok i det 'klassiske grænseområde' hvor hastighederne er små i forhold til lysets hastighed.

Det er bemærkelsesværdigt at Einstein i sin artikel fra 1905 ikke direkte refererer til andre videnskabelige artikler. Blandt videnskabsteoretikere og videnskabshistorikere har det været diskuteret i hvor høj grad eksperimentelle resultater versus teoretiske betragtninger spillede en rolle for Einstein ved fremsættelsen af relativitetsteorien (den 'specielle') i 1905. Einstein har selv på et tidspunkt benægtet at have været væsentligt påvirket af Michelson-Morley eksperimentet. Det væsentlige var de teoretiske betragtninger over problemet med at Maxwell's elektromagnetiske ligninger ikke er invariante ved Galilei-transformationen.
Se også: http://http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_special_relativity (21-05-2011)

Tidsintervaller er relative (*2)

Vi er passager i et specielt Einstein-tog som farer af sted med 240.000 km/sek = 0,24 mill.km/sek. Toget forlader station 1 og kører 864 mill.km til station 2.
Det tager 1 time (864/0,24 = 3600 sek).

Vi stiger på toget på station 1 og stiller vores ur efter stationsuret. Ved ankomsten til station 2 opdager vi at vores ur er bagefter stations 2's stationsur.

 


Figur og taleksempel er fra L.D.Landau & G.B.Rumer: "Hvad er relativitet?", Munksgaard, 1963.
Ideen til "lys-uret" stammer vist nok oprindeligt fra fysikeren R.P. Feynman

Inde i toget laver vi (passageren) et eksperiment. Vi sender en lysstråle op i loftet fra en lampe fastgjort til togvognens gulv. I loftet kaster et spejl lysstrålen tilbage til lampen.

På grund af togets bevægelse vil en iagttager på perronen se lysstrålens bane helt anderledes.

Lysstrålens afgang fra lampen og tilbagekomst til lampen er to "rum-tids-begivenheder" som er veldefinerede for begge personer. Trods dette viser det sig nu at tidsintervallet mellem disse to rum-tids-begivenheder måles helt forskelligt for de to iagttagere.


Figur fra L.D.Landau & G.B.Rumer: "Hvad er relativitet?", Munksgaard, 1963.
En fejl i trekanten er dog blevet rettet i forhold til originalen.

Set var vores synspunkt bevæger lysstrålen sig lodret op og ned, stykket D-B-D.
Afhænger lysstrålens bevægelse da ikke af om toget kører eller ej?
Nej, jfr. Einsteins antagelse nr. 2, relativitets-princippet

Set fra iagttageren på perronen bevæger lysstrålen sig langs to sider i en ligebenet trekant A-B-C.

Lysets hastighed er c både set fra os i toget og set fra personen på perronen..
Jfr. Einsteins antagelse nr. 1.

Da lysstrålen bevæger sig en længere vej set fra perronen end set fra toget, men med samme hastighed, må tidsintervallet mellem de to rum-tids-begivenheder set fra perronen (t) være længere end set i toget (t').

Vi beregner nu tidsintervallet mellem de to rum-tids-begivenheder set fra henholdsvis os og personen på perronen.

Lysets hastighed er 0,3 mill.km/sek
og lad toget køre med 0,24 mill.km/sek

Set fra vores synspunkt i toget bevæger lyset sig fra gulv til loft og tilbage til gulv, altså stykket D-B-D. Lad os kalde tidsintervallet for denne bevægelse t'.

Vi har så (**): t' = 2BD/0,3 og heraf fås:  BD = ½ x 0,3 x t'.

Set fra personen på perronen har lampen på togvognens gulv flyttet sig stykket A-D-C i samme tidsinterval som lysstrålen har bevæget sig stykket A-B-C. Lad os kalde dette tidsinterval for t.

Vi har så (**): t = (AB+BC)/0,3 = AC/0,24

Da trekant ABC er ligebenet, dvs. AB = BC,
kan vi også skrive: t = 2AB/0,3 = 2AD/0,24
og heraf fås:  AB = ½ x 0,3 x t   og   AD = ½ x 0,24 x t

I den retvinklede trekant CBD gælder
Phytagoras: AB2 = AD2 + BD2

Indsætter vi nu hvad vi ved om trekantens sider,

får vi: (½ x 0,3 x t)2 = (½ x 0,24 x t)2 + (½ x 0,3 x t')2
eller: (0,32 - 0,242) t2 = 0,32 t'2
eller: (t/t')2 = 0,32 / (0,32 - 0,242)
eller: t/t' = 10/6

Lad os antage at Einstein-toget er BD = 0,9 mill.km højt !

Så bliver tidsintervallet set i toget: t' = 2BD/0,3 = 6 sek.
og tidsintervallet set fra perronen:    t = 10/6 t = 10 sek.

 

Formlen for tiderne kan omskrives til:

Og generelt fås:

hvor v er togets hastighed og c er lysets hastighed.

Tiden t' er tiden for en proces i hvile i forhold til iagttageren ('hvile-tiden' eller 'egen-tiden')
Tiden t er tiden for den samme proces i bevægelse med hastighed v i forhold til iagttageren.

Dette fænomen kaldes 'tids-forlængelsen' fordi t > t'.

Hvis toget ifølge urene på stationerne er 1 time om at bevæge sig fra station 1 til station 2, så tager denne rejse set fra vores (passagerens) synspunkt kun 60 min x 6/10 = 36 min. Vores ur har altså tabt 24 min i forhold til stationsurene i løbet af denne time.

Hvis lampen på togvognens gulv igen kan reflektere lysstrålen op, kan dette lys-forsøg opfattes som et ur som "tikker" hver gang lyset når tilbage til lampen. Alle tidsprocesser må følge denne tidstransformation. Ellers ville der komme uoverensstemmelse mellem tiderne i forsøget og tiderne målt med andre slags ure. Ure der bevæger sig taber i forhold til ure som står stille. Formuleret præcist:

Ure (processer) der bevæger sig i forhold til en iagttager vil - set af denne iagttager - gå langsommere end ure (samme processer) som er i hvile i forhold til en iagttager.

Passageren i toget konstaterer at en proces (hans lys-urs "tik") tager 6 sek, mens personen på perronen ser den samme proces tage 10 sek. Passagerens ur må derfor tabe, og det kan passageren konstatere ved at sammenligne tidsintervallet på sit ur med tidsintervallet mellem stationsuret som han passerer på station 1 og stationsuret som han senere passerer på station 2.

Men kommer dette resultat ikke i modstrid med relativitets-princippet? Kunne passageren ud fra den iaggtagelse at hans ur taber så ikke slutte at det er ham som er i bevægelse?  Kunne man ikke sige at de langsomme ure er i "mere" absolut bevægelse end de hurtige ure? Og kommer vi ikke til en modstrid hvis vi "bytter om" og - i overensstemmelse med relativitets-princippet - opfatter situationen sådan, at passageren i toget ser perronen fare forbi i modsat retning?

Nej, for de to måder at opfatte situationerne på er ikke "symmetriske". Vi bruger ikke to, men tre tidsmålere når vi sammenligner tiderne. Passageren sammenligner sit ur med to forskellige ure på to forskellige steder (stationerne). Hvis vi "bytter om" må det se således ud:

Passageren i toget ser perronen fare forbi (i modsat retning). Personen på perronen passerer først et ur i forenden af toget, senere et ur i bagenden af toget.

Personen på perronen laver et lys-ur som "tikker" på 6 sek. Passageren i toget konstaterer at "tikkene" tager 10 sek. Perron-personens ur må derfor tabe, og det kan perron-personen konstatere ved at sammenligne sit ur med tidsintervallet mellem toguret som han passerer i forenden af toget med toguret som han senere passerer i bagenden af toget.

Også længder bliver relative

Lad os se på den afstand vores tog tilbagelægger.

Afstanden mellem station 1 og station 2 er 864 mill.km og rejsen tager 1 time når togets fart er 0,24 mill.km/sek.

Men for passageren i toget tager det jo kun 36 min eller 2160 sek at se vejlængden mellem stationerne fare bagud. Han må jo så komme frem til at afstanden mellem stationerne er:

0,24 mill.km/sek x 2160 sek = 518,4 mill.km

Strækningen mellem stationerne ser altså kortere ud set fra toget end set fra jorden. Forkortelsen sker her med faktoren 6/10.

 

Formlen for længderne ser generelt således ud:

hvor v er togets hastighed og c er lysets hastighed.

Længden L er længden af en strækning i hvile i forhold til iagttageren ('hvile-længden')
Længden L' er længden af den samme strækning i bevægelse med hastighed v i forhold til iagttageren.

Dette kaldes 'længde-forkortningen' fordi L' < L.

Længden af en genstand ses at være kortere når genstanden bevæger sig i forhold til en iagttager end når den er i hvile.

I vort tog-eksempel er L' = 864 mill. km og L = 518,4 mill. km.

Ligesom tids-forlængelsen er længde-forkortningen ikke i modstrid med relativitets-princippet. En person på en perron vil på samme måde konstatere at længden af f.eks. toget der passerer, vil være kortere end den længde toget måler set fra en passager på toget.

Lad os sige at toget er 5,4 mill.km langt, (hvilelængden set fra toget). Set fra perronen vil dets længde så være
      5,4 mill.km x 6/10 = 3,24 mill.km.

Men hvordan kan personen på perronen måle togets længde?

Personen på perronen sætter en fotocelle op som giver en elektrisk impuls når togets forende passerer og en ny elektrisk impuls når togets bagende passerer. Denne proces (registrering af de to impulser) er i hvile i forhold til perronen, og tiden det tager viser sig at være 13,5 sek.:
Så kan personen på perronen slutte at togets længde er togets hastighed gange denne tid:
      0,24 mill.km/sek x 13,5 sek = 3,24 mill.km.

Hvor ved vi fra at der set fra perronen går 13,5 sek mellem de to impulser? Lad os kalde denne tid for ?.

Set fra toget bevæger fotocelle-processen sig med togets hastighed bagud, og tiden for processen bliver tidsforlænget med faktoren 10/6. D.v.s. passageren i toget konstaterer at tiden mellem at togets forende og togets bagende passerer fotocellen må være ? sek x 10/6.
Men passageren kan jo også regne den tid ud ved at benytte togets hvilelængde:
      5,4 mill.km / 0,24 mill.km/sek = 22,5 sek.
Så vi har at ? sek x 10/6 = 22,5 sek, eller at ? sek = 6/10 x 22,5 sek = 13,5 sek.

Muon-paradokset

Muoner er elementar-partikler (undertiden kaldet 'tunge elektroner') som dannes når den kosmiske stråling rammer atmosfæren i en højde på ca. 10 km over Jordens overflade.

Man ved fra forsøg i laboratorier at muonen har en levetid på 2,2 10-6 sek (hvorefter partiklen henfalder til andre partikler).

Muonerne dannet af kosmisk stråling kan registreres ved Jordens overflade.
Dette er et paradoks, for muonen lever ikke længe nok til at nå ned til os - selv med en hastighed på lysets hastighed!

Hvordan kan dette paradoks opløses? - Ved hjælp af relativitets-teorien.

Muonens levetid: t' = 2,2 10-6 sek, målt for muoner i hvile
Muonens hastighed: v = 0,999 c, hvor c er lysets hastighed

Set fra klassisk fysisk synspunkt kan muonen i sin levetid tilbagelægge afstanden:
     L = 0.999 c x 2.2 10-6 s = 0.659 km
- 659 meter ! - altså slet ikke langt nok til at nå ned til os fra højden 10 km hvor muonen bliver dannet.

Set fra muonens hvilesystem har muonen egenlevetiden t'.
Set fra Jordens system svarer denne tid til den forlængede levetid t:

Faktoren foran t' kaldes ofte 'gamma'.
Med v = 0,999 c bliver gamma her: 22,4.

Vi får så levetiden i Jordens system:
      t = 22,4 x 2,2 10-6 sek = 49,2 10-6 sek

Set fra Jordens system kan muonen nå at tilbagelægge afstanden:
      L = 0,999 c x 49,2 10-6 sek = 14,7 km
- altså nok til at nå ned til os.

Vi kan også se dette fra muonens 'synspunkt':

Muonens egenlevetid er t' = 2,2 10-6 sek, og på sin rejse ned mod Jorden 'ser' muonen den tilbagelagte strækning passere bagud med hastigheden 0,999 c. Denne strækning L' er forkortet i forhold til strækningen set fra Jorden som er ca. L = 10 km:

Vi får strækningen set fra muonen til:
      L' = 1/22,4 x 10 km = 0,447 km = 447 m.

Muonen kan i sin egenlevetid nå at tilbagelægge 0,66 km, så den kan sagtens nå ned til os.

 

Tvillinge-paradokset

To tvillinger, Abel og Bolette på 15 år tager afsked med hinanden på afgangs-pladsen for rumskibe. Tvilling Abel stiger ind i rumskibet og rejser til en fjern stjerne med stor hastighed. Abel vender tilbage til Jorden og Bolette tager imod ham. Abel mener at han har været på rejse i 1 år (egen-tiden t'), han er blevet 16 år, men hans søster er blevet 20 år ældre (tiden t), hun er nu 35 år gammel. Det bekræftes når de to tvillinger sammenligner deres ure, Abels ur er mange år bagefter!  Hvis Bolette havde kunnet følge Abels ur, f.eks. under en del af udrejsen ville hun også forvente dette ifølge relativitetsteorien. Abel har ikke mærket noget specielt, han synes bare der er gået 1 år.

Men ifølge relativitets-princippet må vi også kunne se situationen fra Abels synspunkt. Abel ser Jorden fjerne sig bagud med stor hastighed og senere vender Jorden - og Bolette - tilbage igen. Abel må derfor mene at det er Bolette der har bevæget sig mens han har været i hvile. Derfor må det være Bolette der er blevet 16 år mens Abel er blevet 35 år.

Denne problemstilling minder om den tidligere nævnte med togrejsen mellem de to stationer versus stationens rejse i modsat retning. Men i modsætning til det tidligere eksempel hvor der indgik 3 tidsmålere (et ur der bevæger sig mellem to andre ure), indgår der i dette problem kun 2 tidsmålere - de to tvillingers ure - og de to måder at betragte begivenhederne på er symmetriske.

Her er der tilsyneladende virkelig et paradoks, for de to tvillinger kan jo i begge udgaver af historien sammenligne deres ure direkte - og så kan begge resultater jo ikke passe. Viser Abels ur 16 år og Bolettes 35 år eller omvendt - eller noget helt andet?

Paradokset opløses når vi erkender at vi ikke har holdt os indenfor relativitetsteoriens rammer - eller rettere, den specielle relativitetsteori, formuleret af Einstein i 1905. Denne teori beskæftiger sig nemlig kun med inertial-systemer, altså systemer som bevæger sig med jævn retliniet hastighed i forhold til hinanden. For at komme tilbage til Jorden må Abel jo på et tidspunkt vende om og bevæge sig i modsat retning. Herved ændrer han sin bevægelsesretning (han får en acceleration), og under denne ændring er hans system ikke mere et inertial-system.

Først ud fra den almene relativitetsteori fra 1915 kan problemet forstås. I denne teori påvises det at tid og rum også ændres p.gr. af gravitations-felter og accelerationer. Tages der højde for Abels 'omvending' viser det sig at kun den første version af historien kan bekræftes. Når tvillingerne mødes igen er Abel blevet 16 år og Bolette 35 år.

Tids-effekterne af relativitetsteorierne benyttes ofte i Science Fiction romaner (rafineret af f.eks. forfatteren Ursula K. Le Guin, se Litteratur). Der sker sære ting, men hvis man i øvrigt holder sig indenfor relativitetsteorierne bliver der ikke tale om at kunne rejse tilbage i tiden og slå sine egne forældre ihjel! Heldigvis. Følgende Limerick citeres i Martin Gardners bog om relativitetsteorierne, se Litteratur, som eksempel på noget der ikke kan lade sig gøre:

There was a young lady named Bright
who traveled much faster than light.
She started one day
in the relative way,
and returned on the previous night.

c + c = c ! - og Lorentz-transformationen

Hov, det var jo dette paradoks der gav titel til dette afsnit om relativitetsteori.

En konsekvens af den specielle relativitetsteori er at Galilei-transformationen må opgives og erstattes af en ny form for transformation kaldet Lorentz-transformationen. H.A.Lorentz (1852-1928) foreslog denne transformation for bl.a. at forklare at legemer bliver sammenpressede når de bevæger sig igennem æteren. Einstein modificerede Lorentz's ligninger og gjorde deres betydning mere generel, de udtrykker ikke en effekt af æteren - for den eksisterer ikke - men en egenskab ved rum og tid.

De tidligere formler for tidsforlængelse og længdeforkortning er specialtilfælde af Lorentz-transformationen hvor rum og tid stadig holdes adskilt. De fuldstændige formler indeholder en blanding af rum og tid som ikke kendes fra den klassiske fysik.

Maxwell's ligninger viser sig at være invariante overfor Lorentz-transformationen, dvs. de bevarer deres form i alle inertial-systemer. - det gjorde de ikke under Galilei-transformationen. Det var jo bl.a. det der satte Einstein igang med hans relativitets-projekt.

Nye transformations-formler for rum og tid må også betyde nye formler for hvordan hastigheder "adderes".

Ifølge Galilei-transformationen så det således ud:

u = w + v

hvor w var passagerens hastighed i forhold til togvognen, v togvognens hastighed i forhold til jorden og u passagerens hastighed i forhold til jorden.

Ifølge Lorentz-transformationen skal de samme hastigheder "adderes" således:

Lad os prøve med w = ½c og v = ½c. Så fås: u = c/1.25 = 0,8 c.

Og lad os prøve med w = c og v = c. Så fås: u = 2c/2 = c !

Så hvis i et tog en lysstråle (eller noget andet) bevæger sig med hastigheden c i forhold til toget, og hvis toget bevæger sig med hastighed c i forhold til perronen, så vil lysstrålen bevæge sig med hastighed c i forhold til perronen.
Dette skulle jo også gerne blive resultatet, jfr. Einsteins 1. antagelse.

Korrespondens med den klassiske fysik

Hvad med Galilei-transformationen og den klassiske fysik? Skal alt det bare smides væk?
Nej, den klassiske Newton'ske mekanik er stadig god nok, blot vi holder os til hastigheder som er små i forhold til lysets hastighed.
Hvis w og v er så små i forhold til c at produktet w v er meget mindre end c2 (w v << c2), så bliver w v/c2 tæt på 0, og Lorentz-formlen går over i Galilei's gode gamle formel for hastigheds-addition.

I den generelle relativitetsteori opstår der tilsvarende 'u-klassiske' effekter p.gr. af store gravitations-felter eller store accelerationer. Men Newton's gravitations-teori er stadig god nok hvis gravitationskræfterne ikke er for kraftige.

Det samme gælder den anden store teori i moderne fysik, kvanteteorien. For partikler (og energier) som er store, går kvantefysikkens resultater over i den klassiske mekanik. Niels Bohr formulerede dette i sit 'korrespondens-princip'.

Man kan sige at den moderne fysik er en revolution i forhold til den klassiske fysik, fordi den udskifter de gamle paradigmer om f.eks. rum, tid, partikel-baner og årsag-virkning med nye. Men for små hastigheder, små masser og store partikler og energier 'korresponderer' den nye fysik med den gamle.

(*1) (*2)  Hurtige tog, lange strækninger

Tog-eksemplerne benytter urealistiske (for tog) store hastigheder og dimensioner samt urealistiske (for jernbaner) lange strækninger. Dette er nødvendigt, på grund af lysets store hastighed, for at vise relativistiske effekter med "hverdagsagtige" tider af størrelsesordenen minutter.
Man kunne også have valgt at bevare realistiske mål for hastigheder og afstande og så i stedet for forestille sig at lysets hastighed er ganske lav, f.eks. 10 km/t - svarende til hvad George Gamow har gjort i sin bog "Mr. Tompkins i drømmeland" (se Litteratur).

 

(**) "Fart-trekanten"

fart = vej/tid
vej = fart x tid
tid = vej/fart

 

Litteratur:

L.D.Landau & G.B.Rumer: "Hvad er relativitet?", Munksgaard, 1963

Martin Gardner: "Relativitetsteorierne", Hasselbalch, 1964 ("Relativity for the Million")

George Gamow, "Mr. Tompkins i drømmeland eller historien om lille c, store G og lille h", Gyldendals Uglebøger, 1965 ("Mr. Tompkins in Wonderland or Stories of c, G and h")

Joseph Schwartz & Michael McGuinnes: "Einstein for begyndere", Basilisk, 1983 ("Einstein for Beginners")

Leo Sartori: "Understanding Relativity: A Simplified Approach to Einstein's Theories", University of California Press 1996

Ursula K. Le Guin: "Semley's Necklace" i "The Wind's Twelve Quarters", Bantam Books 1979

Se videre: Paradokser i fysik - Kaos i solsystemet?
See more: Paradokser i fysik - Lorentz Transformation

Opdateret 7-10-2014 , TM

 
Sidens top