> Matematikkens ufuldstændighed Udskriv denne side
     
Matematikkens ufuldstændighed
         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Matematikkens spilleregler og ufuldstændighed
Ved Torsten Meyer

Introduktion (denne side)
Euklid og ikke-euklid
MU-pusleriet
Paradokser
Gödels bevis (1)
Gödels bevis (2)
To citater om matematik
Supplement: Beviser

"Matematikkens spilleregler og ufuldstændighed" var mit bidrag til studiekredsen på Nørre Gymnasium:
"Matematik for hvem som helst", sep.-okt. 2008

 

Sidens topMatematiske ressourcer på web

Der findes naturligvis mange web-sider om matematik. En af de mest omfattende er denne:
mathworld.wolfram.com

Sidens topUdvalgte punkter i matematikkens udvikling
(med særlig vægt på udviklingen af formel matematik)

Se mere komplet oversigt i f.eks.
da.wikipedia.org/wiki/Matematikkens_historie
en.wikipedia.org/wiki/History_of_mathematics
Her er også omtalt indisk, kinesisk og arabisk matematik

Videre opslag i Wikipedia på navnene nedenfor giver mange godeinformationer.

Matematiske tabeller fra Nippur, Mesopotamien (Babylon) (ca. 2200 f.v.t.), bl.a. brøker, elementer af algebra, f.eks. udledning af (a + b)2.

Rhind papyrus, Ægypten (ca. 1650 f.v.t.), elementer af aritmetik, geometri.

Thales fra Milet (ca. 624 - 546 f.v.t.), trigonometri, første forsøg på at lave deduktiv geometri.

Pythagoras (ca. 582 - 507 f.v.t.), geometri, aritmetik.
I den græske oldtid var søgen efter viden ikke adskilt i fag som det er i vores tid. Pythagoras var filosof, mystiker, naturvidenskabsmand og matematiker i ét.
Pythagoras betragtede de hele tal og de rationale tal (brøker med heltallig tæller og nævner) som  mystisk/religiøst givne. Men allerede i hans levetid erkendte man utilstrækkeligheden i dette ved at indse, at der også måtte findes tal som ikke kan skrives som brøk med heltallig tæller og nævner - de irrationale tal. Talområdet blev hermed udvidet til de reelle tal.

Euklid fra Alexandria (ca. 300 f.v.t.) samlede datidens viden om geometri i "Euklid's elementer". Og ikke bare samlede, men systematiserede i en sådan grad at Euklid betragtes som grundlæggeren af den formelle geometri. Hans elementer byggede på definitioner og grundregler - så simple og så få som muligt - og udledte, beviste, skridt for skridt geometriske sætninger, således at hver sætning byggede på tidligere beviste sætninger eller på grundreglerne, aksiomer.

Vi har alle et mentalt billede af hvad et punkt, en linje og en cirkel er. Disse forestillinger giver tilsyneladende mening for os og kan bruges til at give os inspiration til at udvikle mere viden om deres egenskaber. Men i det almindelige sprog er forestillingerne for uklare til at give os sikkerhed for at det vi udleder er "sandt". Vi kan blive vildledt af vores forestillinger. Et punkt og en ret linje er jo abstraktioner - det "ideelle" punkt, den "ideelle" rette linje.

"Et punkt har ingen udbredelse".
"En ret linje er lige og udbreder sig i længden, men ikke i bredden".

Intet punkt og ingen linje tegnet på et stykke papir eller en tavle har disse egenskaber, tegningen repræsenterer kun begreberne "punkt" og "linje". Linjen har f.eks. en tykkelse og er ikke helt ret.
Så hvordan kan vi være sikre på at det er sandt at vinkelsummen i en "ideel" trekant er 180 grader? Ikke ved at tegne den og måle vinklerne. Nej, vi må bevise det ud fra aksiomerne.

Selv om Euklid ikke gennemførte det, blev det efter ham et mål for geometrien - og matematikken i det hele taget - at definere begreber og aksiomer frigjort for vildledende mening - kun med den mening som opstår i kraft af definitionerne. Matematikken skal skabe en formel struktur, en slags kode, som afspejler de egenskaber vi forventer at punkter og linjer i alt fald bør have i den "virkelige" verden.

Udvalgte dele af "Euklids elementer" blev anvendt i matematikundervisningen i skolerne helt frem til 1920'erne.

al Khwarizmi (ca. 780 - 850), grundlæggeren af den moderne algebra.

Leonardo da Pisa (Fibonacci) (ca. 1175 - 1250), aritmetic, algebra, geometri - Fibonacci-tallene.

René Descartes (1596-1650), analytisk geometri, teori for ligninger. Har lagt navn til det kartesiske koordinatsystem.
Her får sammensmeltning af geometri, algebra og lignings-teori betydning for matematikkens videre udvikling.

Pierre de Fermat (1601-1665), talteori. Især kendt for "Fermats sidste sætning" som først blev bevist i 1994 af Andrew Wiles.

Isaac Newton (1642-1727), opfandt differential- og integralregning som redskab til løsning af ligninger for planetbaner.

Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646 - 1716), grundlagde (samtidig med Newton) differential- og integralregning og matematisk analyse. Det er Leibniz's notation som bruges i dag (f.eks. symbolet dx/dy).
Desuden grundlagdes
matrix-regning til løsning af lineære ligninger, samt den symbolske logik.

Leonhard Euler (1707 - 1783), udviklede funktionsbegrebet, teorien for komplekse tal, og introducerede mange andre matematiske teorier og begreber.
Eulers identitet: .

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), udviklede blandet meget andet teorien om funktioner af komplekse variable, herunder algebraens fundamentalsætning om polynomier af komplekse variable.

Nikolai Lobachevsky (1792 - 1856), János Bolyai (1802 - 1860),  Bernhard Riemann (1826 - 1866), udviklede de to ikke-euklidiske geometrier, som blev det første eksempel på at matematikkens formelle systemer kan frigøres fra vores forestillinger om den "virkelige" verden.

Ved at ændre på et enkelt af Euklids aksiomer, parallel-aksiomet, kan skabes disse andre "ikke-euklidiske geometrier" som er lige så stringente som Euklids, men med andre egenskaber. F.eks. er vinkelsummen i en trekant ikke lig med, men større eller mindre end 180 grader. Det var en overraskelse for matematikkerne i 1800-tallet at opdage at der kunne skabes matematik som ikke ligner den "virkelige" "euklidiske" verden.

Lobachevsky og Bolyai udviklede (uafhængigt af hinanden) den hyperbolske geometri, og Riemann udviklede den elliptiske geometri samt differentialgeometrien for overflader i rummet som kan bruges til en forening og generalisering af den euklidiske og de to ikke-euklidiske geometrier.

Senere blev de ikke-euklidiske geometrier brugt i Einsteins generelle relativitetsteori - den "virkelige" verden er måske alligevel ikke euklidisk.

Georg Boole (1815 - 1864), udviklede den Booleske algebra i sammenhæng med den symbolske logik.
Georg Cantor (1845 - 1918), grundlagde teorien for mængder, indførte kardinaltallene som mål for uendelige mængders "mægtighed", formulerede kontinuums hypotesen og opdagede paradokser i teorien for mængder som kunne skabe tvivl om matematikkens konsistens. Cantors "diagonal-bevis" som benyttes til at bevise at de reelle tal ikke er tællelige blev skabelon for moderne bevis-teknikker bl.a. i forbindelse med påvisning af formelle systemers ufuldstændighed (Kurt Gödel) og stoppe-teoremet for algoritmer (Alan Turing).

David Hilbert (1862 - 1943), beskæftigede sig med matematikkens grundlag. Foreslog forskningsprogrammet, "Hilberts program", for at sikre at al matematik bygger på et solidt fundament. Fremsatte desuden en liste 23 uløste matematiske problemer som han betragtede som afgørende udfordringer for matematikere.

Blandt programpunkterne var især to væsentlige ønsker for de matematiske formalismer, specielt teorien om tallene:

  1. at bevise - indenfor formalismen - at formalismen er modsigelsesfri (konsistent), dvs. at man ikke risikerer ved at gå ud fra formalismens grundlag, aksiomer, at kunne bevise at en sætning, et teorem, både gælder og ikke gælder,
  2. at bevise at formalismen er fuldstændig, dvs. at alle sætninger som kan formuleres korrekt indenfor formalismens regler enten kan bevises at være sande eller falske, specielt at alle sandheder kan nås ved beviser indenfor formalismen.

Den optimistiske holdning blandt matematikerne var at dette bestemt måtte kunne gennemføres.

Bertrand Russell (1872 - 1970), Alfred North Whitehead (1861 - 1947), forsøgte i det omfattende værk, "Principia Mathematica" at samle og aksiomatisere hele den moderne matematik, samt isolere Cantor's (og andres) paradokser så de ikke kunne underminere den matematiske formalisme. Resultatet blev af mange matematikere betragtet som utilstrækkeligt.

Kurt Gödel (1906 - 1978), beviste at den matematiske udsagnslogik er konsistent. Dette var helt i overensstemmelse med forventningerne i Hilberts program.
Til gengæld blev Hilbert's program om matematikkens grundlag slået i stykker da Gödel derefter præsenterede et bevis for at enhver konsistent aksiomatisk formulering af talteorien (eller en formalisme af tilsvarende "styrke") nødvendigvis må indeholde sætninger som ikke kan bevises og som alligevel må være sande. Altså at talteorien er ufuldstændig (
Gödels første ufuldstændigheds-teorem).

Desuden beviste Gödel et afledt teorem som siger, at det ikke kan lade sig gøre indenfor talteoriens formalisme at bevise at talteorien er modsigelsesfri - i alt fald kræver et sådant bevis en formalisme som er mindst lige så stærk som formalismen bag talteorien - og så er man jo lige vidt, for så skal man jo også bevise at den nye formalisme er modsigelsesfri (Gödels andet ufuldstændigheds-teorem).
Hermed faldt de to vigtigste punkter af Hilbert's program til jorden.

 

Sidens topSe videre: Euklid og ikke-euklid

Opdateret 14-11-2020 , TM

 
Sidens top