> Mat.'s ufuldstændighed > Euklid og ikke-euklid Udskriv denne side
     
Matematikkens ufuldstændighed
         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Euklid og ikke-euklid

Et spil med bogstaver og navne
En geometrisk fortolkning af spillet

De ikke-euklidiske geometrier

 

Sidens topEt spil med bogstaver og navne

Frit efter: Erik Kristensen: "Ikke-euklidisk geometri", Gad 1975

Et aksiomsystem

Find et udvalg af bogstaver og navne, således at følgende tre regler, aksiomer, er opfyldt:

  1. Til to bogstaver findes et og kun ét navn som indeholder begge disse bogstaver.
  2. Ethvert navn indeholder mindst to bogstaver.
  3. Der findes tre bogstaver som ikke alle tilhører samme navn.

 

En løsning, model for aksiomsystemet, kunne være:

Udvalg af bogstaver: {E, L, P}
Udvalg af navne: {PER, POUL, OLE}

En anden model for aksiomsystemet kunne være:

Udvalg af bogstaver: {E, L, P, R}
Udvalg af navne: {PER, POUL, OLE, LARS}

Undersøg om disse modeller opfylder de tre aksiomer.

Hvis vi tillader "sære" navne, kan vi forenkle modellerne ved at udelade fra navnene de bogstaver som ikke hører med til de udvalgte:

Model 1:

Udvalg af bogstaver: {E, L, P}
Udvalg af navne: {PE, PL, LE}

Model 2:

Udvalg af bogstaver: {E, L, P, R}
Udvalg af navne: {PER, PL, LE, LR}

 

Med 'bogstaver' menes i det følgende altid 'udvalgte bogstaver' uanset om vi bruger de oprindelige modeller eller de forenklede modeller.

 

Er aksiomsystemet modsigelsesfrit, (konsistent)? I et modsigelsesfrit aksiomsystem må man ikke både kunne bevise en sætning og dens modsætning, negation.

At bevise dette er en vanskelig sag. Især hvis beviset skal foregå indenfor aksiomsystemet. Man kunne overveje om beviset kunne gennemføres ved hjælp af kraftigere matematiske værktøjer baseret på et mere omfattende aksiomssystem. Det er en mulighed, men i så fald skal man jo også vise at det mere omfattende system er modsigelsesfrit!

Hvis det er muligt at konstruere en model som opfylder aksiomerne, vil man normalt acceptere at dette i sig selv sikrer at aksiomsystemet er modsigelsesfrit - og vi har jo netop ovenfor to eksempler på modeller. En sådan model kaldes også en fortolkning af aksiomsystemet.

 

Eksempler på sætninger:

  1. Ethvert bogstav tilhører mindst ét navn.
  2. Til to vilkårlige bogstaver findes mindst ét tredje således at alle tre bogstaver ikke tilhører samme navn.
  3. To navne har højst ét bogstav fælles.
  4. Ethvert bogstav tilhører mindst to navne.
  5. Til ethvert bogstav findes mindst ét navn som ikke indeholder bogstavet.

 

Bevis for sætningerne:

  1. Se på et vilkårligt bogstav B1. Ifølge aksiom 3 findes der mindst 3 bogstaver, bl.a. f.eks. B2. Ifølge aksiom 1 findes præcis ét navn N som indeholder både B1 og B2, og altså specielt indeholder B1.

  2. Til de to vilkårlige bogstaver B1 og B2 findes ifølge aksiom 1 præcis ét navn N som indeholder dem begge. Hvis alle andre bogstaver også indgik i dette navn, ville vi komme i modstrid med aksiom 3. Der må altså findes et bogstav B3 som ikke indgår i N.

  3. Hvis vi kunne finde to navne som havde mindst to bogstaver fælles, ville vi komme i modstrid med aksiom 1.

  4. Se på et vilkårligt bogstav B1 som ifølge sætning 1 indgår i mindst ét navn, f.eks. N1. Navnet N1 indeholder ifølge aksiom 2 mindst ét andet bogstav B2. Ifølge sætning 2 findes yderligere mindst ét bogstav B3 som ikke indgår i navn N1. Ifølge aksiom 1 findes til bogstaverne B1 og B3 præcis ét navn N2 som indeholder begge disse bogstaver. Og dette navn N2 kan ikke være identisk med N1, for så ville B3 jo indgå i N1. Vi har så mindst to navne, nemlig N1 og N2, som indeholder bogstavet B1.

  5. Se på et vilkårligt bogstav B. Ifølge sætning 4 indgår bogstav B i mindst to navne N1 og N2. Ifølge aksiom 2 har N1 og N2 udover B yderligere mindst ét bogstav, henholdsvis B1 og B2, og disse må være forskellige, for ellers ville N1 og N2 have to punkter fælles, B og B1 = B2, og så kommer vi i modstrid med sætning 3.  Ifølge aksiom 1 findes præcis ét navn N som indeholder både B1 og B2. N må være forskellig fra både N1 og N2, for hvis f.eks. N = N1 ville B2 tilhøre N1, og så ville N1 og N2 have to bogstaver fælles, igen i strid med sætning 3. Hvis nu også bogstav B tilhørte N, så ville N indeholde alle tre bogstaver, B, B1 og B2, og så ville N og N1 have to bogstaver fælles (og tilsvarende N og N2) i strid med sætning 3.

 

Et forslag til en sætning:

  1. To vilkårlige navne har mindst ét bogstav fælles

Sammen med sætning 3 ville så fås at to navne altid har præcis ét bogstav fælles.

Men desværre - sætning 6 følger ikke af vores tre aksiomer. Dette kan indses ved at konstruere en model som opfylder aksiomerne, men ikke sætning 6:

Model 3:

Udvalg af bogstaver: {E, L, P, R, T}
Udvalg af navne:
{PER, PL, LE, LRT, ET, PT}

Model 4:

Udvalg af bogstaver: {                   }
Udvalg af navne:
{                                                       }

Undersøg om model 3 opfylder de tre aksiomer og udpeg to navne som ikke har noget bogstav til fælles.

Kan man lave en model 4 som opfylder de tre aksiomer, men ikke sætning 6, med kun 4 bogstaver?

 

Udvidelse af aksiomsystemet:

Sætning 6 følger ikke af de tre aksiomer, men vi har mulighed for at tilføje sætning 6 som et fjerde aksiom:

  1. To vilkårlige navne har mindst ét bogstav fælles

Dette nye aksiomsystem tror vi på er modsigelsesfrit, for f.eks. modellerne 1 og 2 opfylder alle fire aksiomer.

 

Sidens topEn geometrisk fortolkning af bogstav-og-navne spillet

Se på følgende modeller:

Model 5:

Bogstaver: alle punkter i planen
Navne: alle rette linjer i planen

Model 6:

Bogstaver: 5 punkter i planen
Navne: alle de rette linjer i planen som forbinder de 5 punkter parvis

Prøv i de tre aksiomer og i sætningerne at erstatte:

  • "bogstav" med "punkt"
  • "navn" med "(ret) linje"
  • "tilhører" med "ligger på"
  • "indeholder" med "går igennem"

Bliver det meningsfuldt?
Lav en tegning som illustrer model 6.
Prøv at illustrere beviserne til sætningerne 1 - 5.
Hvad med sætning 6 / aksiom 4 i forhold til model 5 og 6?

 

Prøv evt. også i de tre aksiomer og i sætningerne at erstatte ("model 5a"):

  • "bogstav" med "linje"
  • "navn" med "punkt"
  • "tilhører" med "går igennem"
  • "indeholder" med "ligger på"

Bliver det meningsfuldt?
Hvad med aksiom 1?

I den såkaldte projektive geometri taler man om at parallelle linjer har et fælles skæringspunkt som ligger uendelig langt væk. Her får sætning 6 / aksiom 4 mening i model 5 og aksiom 1 mening i model 5a.

 

Sidens topDe ikke-euklidiske geometrier

Frit efter: Philip J. Davis & Reuben Hersh: "The Mathematical Experience", Penguin Books, 1983.

Den ikke-euklidiske geometris opdukken på den matematiske scene i midten af 1800-tallet blev mødt med mistro. Siden den græske oldtid havde geometrien haft en dobbelt fortolkning. På den ene side blev den betragtet som en præcis beskrivelse af det rum vi lever i (noget vi opdager), på den anden side som en deduktiv aksiomatisk disciplin (noget vi opfinder). I dag opfatter vi disse to fortolkning som adskilte fra hinanden.

Euklid baserede sin geometri på en række "postulater" og "aksiomer". Normalt fremhæves følgende 5 postulater, her i en moderne formulering:

  1. Der kan trækkes en ret linje mellem to vilkårlige punkter.
  2. Enhver begrænset ret linje kan forlænges ubegrænset.
  3. En cirkel kan tegnes med et vilkårligt punkt som centrum og en vilkårlig radius.
  4. Alle rette vinkler er lige store.
  5. Hvis to rette linjer skæres af en tredje linje, sådan at summen af de indvendige vinkler på den ene side er mindre end to rette vinkler, så vil de to rette linjer skære hinanden når de forlænges ubegrænset til den side hvor de to vinkler ligger.

Det kan vises at det 5. postulat er ækvivalent med følgende formulering, som ofte benyttes:

  1. Givet en ret linje L og et punkt P udenfor denne. Der findes en og kun én ret linje gennem punktet P parallel med L.
Illustration af det 5. postulat i Euklids oprindelige formulering Illustration af det 5. postulat i en senere formulering fra slutningen af 1700-tallet.

Det 5. postulat kaldes også Euklids parallelpostulat. Euklid var selv skeptisk overfor sit 5. postulat som synes meget mere komplekst end de fire øvrige. I sin produktion, i dag kaldet "Euklids elementer", undgik han derfor at bruge det 5. postulat i den første række geometriske sætninger, selv om anvendelsen af postulatet kunne have gjort beviserne simplere. I beviserne for den videre række af sætninger måtte Euklid dog nødtvungent benytte det 5. postulat.

Tvivlen om nødvendigheden af det 5. postulat fortsatte i mere end 2000 år efter Euklid. Mange matematikere forsøgte at vise at det 5. postulat kunne bevises ud fra de første fire postulater, men det lykkedes ikke. I stedet for at søge efter direkte beviser, forsøgte matematikere i 1600- og 1700-tallet at bevise det 5. postulat ved et såkaldt indirekte bevis. Dette kan gøres ved at antage det 5. postulats negation, altså at det ikke gælder, og så vise at denne antagelse fører til en modstrid, dvs. bevis for at en sætning både gælder og ikke gælder.

I løbet af 1800-tallet blev det efterhånden klart at et geometrisk aksiomatisk system som bygger på de fire første af Euklids postulater samt negationen af det 5. postulat fører til geometrier med andre egenskaber end dem vi er vante til i det almindelige ("Euklidiske") rum. Men det er trods dette konsistente geometrier, dvs. de fem aksiomer fører ikke til modstrid.

Negationen af det 5. postulat siger:

  • Givet en ret linje L og et punkt P udenfor denne. Der findes enten ingen ret linje eller mindst to rette linjer gennem punktet P parallel med L.

De to muligheder, "ingen ret linje" eller "mindst to rette linjer" fører til to typer af ikke-euklidiske geometrier, den hyperbolske geomtri og den elliptiske geometri og nogle udvalgte egenskaber ved disse er vist i skemaet her:

  Euklidisk geometri Hyperbolsk geometri
(Lobachevski)
Elliptisk geometri
(Riemann)
Model Planen eller rummet Saddelflade Kugleflade
Punkt ... Punkt i planen eller rummet Punkt på saddelfladen Diamentralt modsatte punktpar på kuglefladen
Linje ... Linje i planen eller rummet Linje som korteste forbindelse mellem to punkter på saddelfladen Storcirkler på kuglefladen
Givet linje L og punkt P ikke på L, så findes ... En og kun én linje gennem P parallel med L Mindst to linjer gennem P parallel med L Ingen linjer gennem P parallel med L
Summen af vinklerne i en trekant er ... lig med 180o mindre end 180o større end 180o

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry

Illustration af hyperbolsk geometri, en trekant på en saddelflade.

http://en.wikipedia.org/wiki/Non_euclidian_geometry

Illustration af elliptisk geometri, en trekant på en kugleflade - og på en lille næsten plan del af kuglefladen.

Som modeller for de to typer ikke-euklidiske geometrier kan benyttes henholdsvis en saddel- og en kugleflade med en nærmere definition af hvad der skal forstås ved punkter og linjer. Hvis aksiomerne for de ikke-euklidiske geometrier var inkonsistente, altså førte til modstrid, så ville den euklidiske rumgeometri for saddel- og kugleflader også være inkonsistsent, og dermed ville den euklidiske geometri som helhed være inkonsistent. Vi får på denne måde et relativt bevis for at de ikke-euklidiske geometrier er konsistente (modsigelsesfri). Hvis den euklidiske geometri er konsistent, så er de ikke-euklidiske geometrier også konsistente.

Selv om de ikke-euklidiske geometrier blev "opfundet" ved at ændre på Euklids 5. aksiom som en ændring af reglerne for et spil som intet behøver at have med virkeligheden at gøre, viste det sig senere, i 1900-tallet, at de kunne benyttes som matematisk værktøj til at beskrive det "krumme rum" i Einsteins almene relativitetsteori. I den forstand kan man vel så sige, at de to typer ikke-euklidiske geometrier er "opdagede".

 

Sidens topSe videre: MU pusleriet

Opdateret 8-08-2009 , TM

 
Sidens top