> Fraktaler og kaos > Fraktaler Udskriv denne side
     
Fraktaler og kaos
         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Fraktaler

En ikke-fraktal
En geometrisk fraktal
Flere fraktaler
Skildpadde-grafik og rekursive procedurer



 

En ikke-fraktalSidens top

En cirkel er ikke en fraktal. Hvis vi forsøger at måle omkredsen af en cirkel med radius 1 ved hjælp af en målepind med længden e og gør e mindre og mindre, så vil antallet af måleskridt n vokse ubegrænset, men længden L = e * n vil ikke vokse ubegrænset, men nærme sig en bestemt værdi: 2π. Det kan f.eks. gøres ved at indskrive ligesidede polygoner (3-kant, 4-kant, 5-kant, etc) i cirklen.


En cirkelomkreds "udmålt" med en 5-kant

I tabellen nedenfor er vist hvordan L (polygonernes omkreds) nærmer sig 2π = 6,283185...

n
e
L
3 1,732051 5,196152
4 1,414214 5,656854
5 1,175571 5,877853
6 1,000000 6,000000
7 0,867767 6,074372
8 0,765367 6,122935
9 0,684040 6,156363
10 0,618034 6,180340
100 0,062822 6,282152
1000 0,006283 6,283175

Sådan opfører "almindelige" geometriske kurver sig. De er "glatte" og har en veldefineret længde.

For de matematisk nysgerrige:
Med lidt trigonometri kan man vise at der for en i cirklen indskrevet ligesidet n-kant gælder:
Sidelængden e = 2sin (180o/n).   Omkreds L = n*e = 2n sin (180o/n).
For n gående mod uendelig kan man vise at L går imod: 2n π/n = 2π.

En geometrisk fraktalSidens top

Et eksempel på dannelsen af en geometrisk fraktal, "sne-fraktalen", ses her:

 

Niveau 0

 

 

Niveau 1

 

 

 

 

 

Niveau 2

 

 

 

 

Niveau 3

 

 

 

 

Niveau 4

 

Dannelsen af fraktalen kan baseres på en "opskrift":

  1. Givet et linjestykke med længden 1 (niveau 0 i fraktalen)
  2. Del linjestykket i 3 lige store dele - de får hver længden 1/3
  3. Erstat den midterste del med to sider med længden 1/3 af en ligesidet trekant.
    Figuren består nu af 4 linjestykker hver med længden 1/3 (niveau 1 i fraktalen)
  4. Gentag punkt 2-3 for hvert af linjestykkerne i figuren fra niveau 1
    Figuren består nu af 16 linjestykker hver med længden 1/9 (niveau 2 i fraktalen)
  5. Gentag punkt 2-3 for hvert af linjestykkerne i figuren fra niveau 2
  6. .......

Fraktalen er den figur som dannes ved at gentage punkterne 2-3 uendelig mange gange.

De små linjestykker er vores målepind med længden e og antallet er n. Vi kan så lave en oversigt over n, e og den samlede længde af fraktalen, L:

Niveau
n
e
L
L m. decimaler
0
1 1 1 1
1
4 1/3 4/3 1,333
2
16 1/9 16/9 1,778
3
64 1/27 32/27 2,370
4
256 1/81 64/81 3,160
.....
..... ..... ..... .....

Ligesom ved Englands kystlængde kan vi afbilde n som funktion af e:

Sammenhængen kan bestemmes til: n = 1 * 1/e1,262

Sne-fraktalens længde bliver så: L = e * n = 1 * 1/e1,262-1.

Den fraktale dimension for sne-fraktalen bliver: 1,262 - altså næsten det samme som dimensionen af Englands "kyst-fraktal".

For de matematisk nysgerrige:
For sne-fraktalen har vi: Når målepinden e ændres med faktoren 1/3 medfører det at antallet af "enheder" n ændres med faktoren 4, Dimensionen bliver så d = log(4)/log(3) = 1,262.

Flere fraktalerSidens top

Her er vist nogle flere eksempler på geometriske fraktaler:


Snefnug. Det er sne-fraktalen gentaget i tre retninger. Dimension igen log(4)/log(3) = 1,262


Korssting, niveau 1 og 4. Dimension: log(5)/log(3) = 1,465


Gosper-fraktalen, niveau 1 og 4. Dimension: log(7)/log(7½) = 2

 

Cantor-mængden, niveau 0-6. Dimension: log(2)/log(3) = 0,631

Skildpadde-grafik og rekursive procedurerSidens top

De geometriske fraktaler kan dannes på en computer ved at lave et program som består af procedurer som kalder sig selv, rekursive procedurer.
Selve tegningen af graferne kan udføres med skildpadde-grafik (turtle-graphics).

Download følgende FPRO-filer og få vist forskellige fraktaler.
Niveau vælges ved at sætte variablen 'niv' til 0, 1, 2, ...
Tegningen kan forsinkes ved hjælp af variablen 'forsink' (i sekunder).

SNESK1.FPR (Sne-fraktalen)
SNESK2.FPR (Snefnug)
KORSSK1.FPR (Korssting)
GOSPSK1.FPR (Gosper-kurven tegnet med hop)
GOSPSK2.FPR (Gosper-kurven tegnet uden hop)
DRAGESK1.FPR (Drage-kurven med hop)
DRAGESK2.FPR (Drage-kurven uden hop m. to procedurer)
DRAGESK3.FPR (Drage-kurven uden hop m. en procedure og flag-parameter)
DRAGESK4.FPR (Drage-kurven med variabel vinkel w)
DRAGESK5.FPR (Drage-kurven m. indbygget tilfældighed)

Se videre: Eksempler på anvendelser og litteratur

Opdateret 6-08-2009 , TM

 
Sidens top