> Mat.'s ufuldstændighed > Paradokser Udskriv denne side
     
Matematikkens ufuldstændighed
         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Paradokser

Paradokser

 

 

 

 

Tegning: M.C.Escher: "Drawing hands"

 

Sidens topParadokser

Løgner paradokset

Oprindeligt kendt som "Epimenides parakoks". Epimenides var fra Kreta og han udtalte: "Alle kretensere lyver". En skarpere version er denne formulering i en sætning kaldet S:

S: Denne sætning er falsk

Hvis vi antager at S er sand, så er det rigtigt det der står i S, og så er S falsk.
Hvis vi antager at S er falsk, så er det forkert det der står i S, og så er S sand.

Paradoksets kilde ser ud til at være den omstændighed at sætningen S er "selv-refererende", altså at S udtaler sig om sig selv. Det er dog muligt at undgå dette ved hjælp af to sætninger som dog så refererer til hinanden - prøv at udforske paradokset:

S1: Den følgende sætning (S2) er falsk
S2: Den foregående sætning (S1) er sand

 

Protagoras' paradoks

Sofisten Protagoras lavede følgende aftale med en af sine studenter: Denne unge mand skulle kun betale for sin uddannelse hvis han vandt sin første retssag. Studenten blev kandidat og ventede på at få klienter, men ingen dukkede op. Protagoras blev utålmodig og sagsøgte sin student for at få ham til at betale for uddannelsen. Hvad skete der så?

 

Grelling's paradoks

Logiske paradokser findes også i en form som har sammenhæng med sprog.:

Opdel alle beskrivende ord på dansk i to kategorier, dem som er:

  1. selvbeskrivende
    (f.eks. 'flerstavelsesord', 'mærkværdighedsagtig', 'foreign')
  2. ikke-selvbeskrivende
    (f.eks. 'tostavelsesord', 'ufuldstændig', 'fremmedord')

Hvad kategori hører ordet 'ikke-selvbeskrivende' til?

 

Richard's paradoks

Endnu et sprogligt relateret paradoks (som Gödel selv refererede til):

Alle definitioner om egenskaber ved hele positive tal kan opstilles i en ordnet liste, f.eks. i alfabetisk orden, og hver egenskab i listen kan nummereres 1, 2, 3 ... . Tallene kan nu deles op i to kategorier:

  1. Tal som selv besidder den egenskab som de er nummer for
    (f.eks. 17 hvis egenskaben "er et primtal" har nummer 17 i listen)
  2. Tal som ikke selv besidder den egenskab som de er nummer for
    (f.eks. 19 hvis egenskaben "er et sammensat tal" har nummer 19)

Nu defineres følgende egenskab:
Et helt positivt tal x er 'Richardian'  hvis x ikke har den egenskab som tallet x er nummer for i listen.

F.eks. er i eksemplerne ovenfor 19 Richardian og 17 er ikke Richardian.

Egenskaben at et tal er Richardian må selv stå i listen over alle definitioner om egenskaber ved hele positive tal, og denne egenskab må have et bestemt nummer. Lad os kalde dette nummer n. Er n Richardian?

 

Russell's's paradoks

Et matematisk paradoks nævnt i Russell & Whitehead: "Principia Mathematica" (1910-13):

I matematik taler man om mængder som kan være en samling af hvad-som-helst, blot det er veldefineret.
Alle mængder kan deles op i to kategorier:

  1. De mængder som ikke tilhører sig selv
    (f.eks. mængden af elever på skolen, mængden af alle hele positive tal)
  2. De mængder som tilhører sig selv
    (f.eks. mængden af alle mængder, mængden af alle begreber vi kan tænke på, mængden af alle ting og samlinger af ting undtagen min mobiltelefon)

Nu defineres følgende mængde:
Mængden R bestående af alle de mængder som ikke tilhører sig selv (kategori 1).

Tilhører R kategori 1 eller 2?

 

Bibliotekarens paradoks

Hvis Russell's paradoks virker for underligt fordi det omhandler noget så abstrakt som mængder, kan man i stedet benytte denne udgave:

På biblioteket er der en hylde med kataloger over tidsskrifter, bøger, tegneserier - og kataloger. Nogle af disse kataloger indeholder i deres oversigt også sig selv. Andre (de fleste) gør ikke. En bibliotekar beslutter sig for at lave to nye kataloger:

  1. Katalog A som indeholder en oversigt over alle de kataloger som ikke nævner sig selv i deres oversigt.
  2. Katalog B som indeholder en oversigt over alle de kataloger som nævner sig selv i deres oversigt.

Bibliotekarens problem er nu: I hvilket af de to kataloger, A eller B, skal katalog A stå i?

De logiske og matematiske paradokser kan underminere hele matematikken. I et forsøg på at undgå dem forsøgte Rusell & Whitehead i deres værk "Principia Mathematica" at lave en opdeling af logiske og matematiske begreber i forskellige niveauer og en regel om at disse niveauer skulle holdes adskilt. Men det lykkedes ikke særlig godt, og senere benyttede Gödel netop strukturen i paradokser som Richard's paradoks til at opbygge sit bevis for matematikkens ufuldstændighed.

Sidens topSe videre: Gödels bevis (1)

Opdateret 2-11-2011 , TM

 
Sidens top