> Fraktaler og kaos > Lineære og ikke-lineære iterationer Udskriv denne side
     
Fraktaler og kaos
         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Lineære og ikke-lineære iterationer

(eller elefanter og ikke-elefanter)

En lineær (elefant)
En ikke-lineær (ikke-elefant)

Regler for elefanter
Opdagelser om ikke-elefanterne

 

Iterationer: En lineær (elefant)Sidens top

"iter": latin, gentage

En lineær iteration kan se således ud:

Start med et x Find y = a x + b Sæt x = y
Benyt det nye x Find y = a x + b Sæt x = y
..... ..... .....

Med f.eks. a = 0,5 og b = 1 fås med start i x = 1:

x = 1 y = 0,5*1 + 1 = 1,5 Sæt x = 1,5
x = 1,5 y = 0,5*1,5 + 1 = 1,75 Sæt x = 1,75
..... ..... .....

Excel-filen IterFeig00.xls kan benyttes til at udforske hvad der sker for forskellige værdier af a, b og startværdier for x.

I visse tilfælde kan man komme ud for at valget af a, b og startværdi for x er således at beregningen af y giver samme værdi af x igen. Med de tidligere værdier af a og b fås f.eks.:

x = 2 y = 0,5*2 + 1 = 2 Sæt x = 2
x = 2 y = 0,5*2 + 1 = 2 Sæt x = 2
..... ..... .....

Vi får altså hele tiden samme værdi af x tilbage.
En sådan værdi af x (her 2) kaldes et fixpunkt.

Som det ses af Excel-filen vil a = 0,5 og b = 1 give et fixpunkt 2.
Vi ser også at for forskellige startværdier for x, f.eks. x = 1 eller x = -100, vil de følgende x-værdier efterhånden nærme sig værdien 2.
I dette tilfælde er 2 et tiltrækkende fixpunkt.

Prøv nu at undersøge ved hjælp af Excel-filen hvad der sker i tilfældet:
a = 2, b = 1, startværdi for x = 1.
Prøv også med andre startværdier for x.

Har dette tilfælde et fixpunkt? Ja, prøv at starte med x = -1.

I dette tilfælde er -1 et frastødende fixpunkt.

Man kan ved at løse ligningen x = a x + b finde en formel for fixpunktet.
Man kan desuden finde en regel for for hvilke værdier af a fixpunktet er frastødende eller tiltrækkende.

Prøv med Excel-filen at eksperimentere med forskellige værdier af a, b og startværdi for x, (kaldet x0).
Se evt.:
Reglerne for den lineære iteration.

Iterationer: En ikke-lineær (ikke-elefant)Sidens top

En ikke-lineær iteration kan se således ud:

Start med et x Find y = a x (1 - x) Sæt x = y
Benyt det nye x Find y = a x (1 - x) Sæt x = y
..... ..... .....

Måske vil nogen erindre at vi her har at gøre med et andengradspolynomium, idet y = - a x2 + ax.

Med f.eks. a = 2 fås med start i x = 0,1:

x = 0,1 y = 2*0,1*(1-0,1) = 0,18 Sæt x = 0,18
x = 0,18 y = 2*0,18*(1-0,18) = 0,2952 Sæt x = 0,2952
..... ..... .....

Excel-filen IterFeig01.xls kan benyttes til at udforske hvad der sker for forskellige værdier af a og startværdier for x.

Vi begrænser os til at undersøge hvad der sker for a mellem 1 (exkl.) og 4 (inkl.), eller: 1 < a =< 4.
For disse a kan man vise at x altid vil ligge i intervallet mellem 0 og 1: 0 =< x =< 1.

Prøv med Excel-filen at eksperimentere med forskellige værdier af a og startværdi for x, (kaldet x0). Find fixpunkterne og afgør om de er frastødende eller tiltrækkende.
Det anbefales at prøve med følgende a-værdier:

  • a = 1
  • a = 1,5
  • a = 2
  • a = 2,8
  • a = 3
  • a = 3,2
  • a = 3,5
  • a = 3,55
  • a = 4

Se evt.: Opdagelser om den ikke-lineære iteration.

Regler for elefanterne (den lineære iteration)Sidens top

Den lineære iteration er y = a x + b.
For givne a og b er fixpunktet givet ved ligningen a x + b = x, hvis løsning er: x = b / (1 - a).

  • For -1 < a < 1 er fixpunktet tiltrækkende.
  • For a < -1 eller a > 1 er fixpunktet frastødende.
  • For a = 0, a = -1 eller a = 1 fås grænsetilfælde.
    • For a = 0 kaldes fixpunktet supertiltrækkende.
    • For a = 1 eksisterer der intet fixpunkt.
    • For a = -1 kaldes fixpunktet neutralt.

Opdagelser om ikke-elefanterne (den ikke-lineære iteration)Sidens top

Den ikke-lineære iteration vi studerer er y = a x (1 - x) for 1 < a =< 4   og    0 =< x =< 1..
For givet a er fixpunkterne givet ved ligningen a x (1 - x) = x, eller  - a x2 + (a - 1) x = 0, hvis løsninger er:
x = 0 eller x = 1 - 1/a.   x  = 0 kaldes det trivielle fixpunkt.   x = 1 - 1/a kaldes det ikke-trivielle fixpunkt.

  • Det trivielle fixpunkt er altid frastødende.
  • For 1 < a < 3 er det ikke-trivielle fixpunkt tiltrækkende.
  • For 3 < a < 4 er det ikke-trivielle fixpunkt frastødende.
  • For 3 < a < 4 fås tiltrækkende 2-cykler, 4-cykler, 8-cykler, 16-cykler, ...
    • For a = 3,2 fås tiltrækkende 2-cykel.
    • For a = 3,5 fås tiltrækkende 4-cykel.
    • For a = 3,55 fås tiltrækkende 8-cykel.
    • ...
  • For a = 4 fås kaos.

Se videre: Retur-afbildning

Opdateret 6-08-2009 , TM

 
Sidens top