Retur-afbildning Parablerne og linjen y = x Retur-afbildningen Undersøgelse med FPRO Eksempler på retur-afbildninger

Parablerne og linjen y = x

For givet a kan vi tegne grafen for funktionen y = a x (1 - x) i intervallet 0 =< x =< 1.
Grafen er en parabel. Skæringspunkterne med x-aksen fås for x = 0 og x = 1.
Parablens maksimum fås for x = 0,5 og maksimum-værdien bliver a/4.

For stigende a-værdier i intervallet 1 =< a =< 4 fås parabler som bliver mere og mere "stejle".
For a = 4 bliver maksimums-værdien 1.

Dette er grunden til at vi kræver at a højst må blive 4. Et a > 4 ville give værdier større end 1, og det ønsker vi ikke, da vi i vores iterationer hele tiden arbejder i intervallet fra 0 til 1.

Parabler for a = 1 - 1,5 - 2 - 2,8 - 3,2 - 3,5 - 4 - 4,5

Vi får også brug for at se på linjen y = x (45^o-linjen).
Fixpunkterne er de x-værdier som ved beregningen y = a x (1 - x) giver os samme x-værdi tilbage, altså løsningerne til ligningen x = a x (1 - x).
Grafisk svarer fixpunkterne til x-værdierne for skæringspunkterne mellem parablen og linjen y = x.
For a = 1 fås kun ét skæringspunkt, for x = 0. Dette kaldes det trivielle fixpunkt.
For 1 < a =< 4 fås endnu et skæringspunkt, for x = 1 - 1/a. Dette kaldes det ikke-trivielle fixpunkt.

Parabler for a = 1 - 1,5 - 2 - 2,8 - 3,2 - 3,5 - 4
og med linjen y = x

Retur-afbildningen

For et givet a og en given startværdi for x kan graferne for parablen og linjen y = x give et klart billede af hvordan iterationen y = a x (1 - x) forløber.

Retur-afbildning for a = 2 med x start i x = 0,1.
Iterations-ruten går ind mod det tiltrækkende fixpunkt x = 0,5.

Forløbet i retur-afbildningen er:

1. Start på x-aksen m. x = 0,1.
2. Gå lodret op til skæring med parablen. Den tilsvarende y-værdi er y = 0,18.
3. Gå vandret hen til skæring med linjen y = x. Den tilsvarende x-værdi bliver x = y = 0,18.
4. Gå lodret op til skæring med parablen. Den nye y-værdi er y = 0,2952.
5. Gå vandret hen til skæring med linjen y = x. Den nye x-værdi bliver x = y = 0,2952.
6. etc. ....

Retur-afbildningen illustrerer hvordan iterationens "rute" går i forhold til fixpunktet.

Betegnelsen "retur", fordi vi hele tiden returnere den fundne y-værdi tilbage til x ved skæring med linjen y = x.

Undersøgelser med programmet FPRO

Programmet FPRO kan bruges til for givet a og startværdi for x at vise retur-afbildningen for iterationen y = a x (1 - x).

Installationsfilen til FPRO kan downloades: FPRO installationsfil
Højreklik på filen 'FPRO121eSetup.exe' og vælg "Gem destination som...". Gem filen i en passende mappe. Åbn mappen via 'Denne computer'. Aktivér installationen ved dobbeltklik på filen.

Tilsvarende downloades til en passende mappe arbejdfilen til FPRO: RETMAP1.FPR

Undersøg retur-afbildningen med FPRO for givne a-værdier (f.eks. a = 1 - 1,5 - 2 - 2,8 - 3,2 - 3,5 - 4) med forskellige startværdier for x (i intervallet fra 0 til 1).

Tip:
Værdier for a og startværdien for x (x0) vældes i vinduet 'Værdier 1'.
Retur-afbildningen af cykler kan gøres "renere" ved som start-værdi for x at vælge en af cyklens værdier (brug evt. værdier i 'Søjler 1' i FPRO-filen eller fra Excel-filen IterFeig01.xls).
FPRO benytter punktum som decimal-adskiller.

Se evt.: Eksempler på retur-afbildninger

Eksempler på retur-afbildninger

Retur-afbildning for a = 2,8 med x start i x = 0,9.
Ét tiltrækkende fixpunkt.

Retur-afbildning for a = 3,2 med x start i x = 0,3.
Tiltrækkende 2-cykle.

Retur-afbildning for a = 3,5 med x start i x = 0,3.
Tiltrækkende 4-cykle.

Retur-afbildning for a = 3,5 med x start i x = 0,5009.
Tiltrækkende 4-cykle - med start i et af cykle-punkterne .

Retur-afbildning for a = 3,56 med x start i x = 0,4945.
Tiltrækkende 8-cykel med start i et af cykle-punkterne.

Retur-afbildning for a = 4,0 med x start i x = 0,3.
Kaos.

Se videre: Feigenbaums figentræ