Hvor lang er Englands kyst? Kystlængden afhænger af målepinden Den fraktale dimension

Kystlængden afhænger af målepinden

Længde af en kyststrækning eller en landegrænse er ikke så veldefineret som man skulle tro.
Prøv at se følgende billed-serie af et stykke af Englands sydkyst:

Tak til Google Earth

For at måle længden af en bestemt kyststrækning må vi vælge en bestemt "målepind". Vi kan forestille os at vandre kyststrækningen igennem med den givne målepind, stykke for stykke, og tælle hvor mange gange den skal afsættes for at gennemløbe hele kyststrækningen.

Hvis målepinden har længden e skal vi måske afsætte den n gange for at nå kyststrækningen igennem, og den samlede længde bliver så: L = e * n.

Hvis målepinden bliver halvt så stor, ½e, skulle man tro at den nu skal afsættes 2n gange for så at give den samme længde som før: L = ½e * 2n = e * n.
Generelt ville vi forvente at antallet n bliver proportionalt med 1/e, altså at n = L*1/e hvor L (længden) er konstant.

Men sådan går det ikke i virkeligheden! Når målepinden bliver mindre, skal den ud og ind af flere bugter og næs som før blev "overset". Med en halveret målepind bliver antallet n mere end dobbelt så stort, og den nye længde L bliver større end den gamle.

For hele England kunne det se således ud:

e = 200 km. n = 12 L = 2400 km	e = 100 km. n = 28 L = 2800 km	e = 50 km. n = 69 L = 3450 km
Fra: http://en.wikipedia.org/wiki/Lewis_Fry_Richardson

Med værdierne fra de tre kort kan vi lave en graf der viser antallet n som funktion af målepindens længde e:

Med disse (meget primitive) data kan man finde frem til at sammenhængen bliver en potensfunktion givet ved: n = 10470 * 1/e^1,284

Kystlængden kan så vises at være: L = e * n = 10470 * 1/e^1,284-1.

Kystlængden L som funktion af målepindslængden e

Sammenhængen mellem L og e kan også beskrives således:
Hvis målepinden e halveres bliver antallet n ca. 2,435 gange så stort og længden L ca. 1,218 gange så stor.

For e = 1 fås n = L = 10470.   For e = ½ fås n = 10470 * 1/½^1,284 = 2,435  og  L = e * n = 1,218.

Den fraktale dimension

Tallet 1,284 i sammenhængene L = 10470 * 1/e^1,284-1 eller n = 10470 * 1/e^1,284 kaldes den fraktale dimension.

Normalt taler vi kun om dimensioner som hele tal, 1 -, 2 - eller 3-dimensionalt.
Lad os som eksempel se på noget 2-dimensionalt.

Med målepinden e = 1 kan vi opbygge et område som et kvadrat:

Hvis vi halverer målepinden til e = ½ får vi indenfor samme område 4 små kvadrater:

Dette er typisk for 2-dimensionelle figurer:
Antallet af kvadrater n som funktion af målepinden e kan skrives: n = 1 * 1/e² (når e = 1 fås n = 1, når e = ½ fås n = 1/(1/4) = 4). Vi genkender tallet 2 som dimensionen 2.

Tilsvarende fås i 3 dimensioner at en kube med sidelængden 1 ved opdeling svarende til halvering af målepinden bliver til 8 kuber, og n = 1 * 1/e³ (når e = 1 fås n = 1, når e = ½ fås n = 1/(1/8) = 8).

Men sådan opfører en kystlængde sig åbenbart ikke. Hvis målepinden e halveres bliver antallet n ca. 2,435 gange så stor, og dette svarer til sammenhængen n = 10470 * 1/e^1,284, altså kysten er 1,284-dimensional. Dimensionen af kysten ligger imellem det 1- og det 2-dimensionale!

Generelt betegner man en figur (mængde) hvor antallet n af "enheder" afhænger af målepinden e som n = k * 1/e^d, for en fraktal og fraktalens dimension defineres ved tallet d.

For de matematiks nysgerrige: 
Generelt kan vises følgende om en figur, specielt en fraktal.
Hvis det at målepinden e ændres med faktoren 1/a-del medfører at antallet af "enheder" n ændres med faktoren b, så er dimensionen givet ved d = log(b)/log(a).
Med vores Englandskyst: d = log(2,435)/log(2) = 1,284.
Med kvadratet: d = log(4)/log(2) = 2. Med kuben: d = log(8)/log(2) = 3.

Se videre: Fraktaler