> Fraktaler og kaos > Feigenbaums figentræ Udskriv denne side
     
Fraktaler og kaos
         
Se også:
Index og søg
Udskriv siden
         

Feigenbaums figentræ

Fra fixpunkt til 2-cykle, ...
Skanning fra a = 1 til a = 4

På opdagelse i figentræet
Hvad er figentræet for en slags mængde?
Eksempler på hvad man kan opdage
Se svingningerne

 

Fra fixpunkt til 2-cykle, til 4-cykle ... Sidens top

Nogle erfaringer fra undersøgelser af iterationen y = a x (1 - x):

  • For 1 < a < 3 er det ikke-trivielle fixpunkt ( x = 1 - 1/a) tiltrækkende.
  • For 3 < a < 3,449490 bliver fixpunktet frastødende og der kommer i stedet en tiltrækkende 2-cykle.
  • For 3,449490 < a < 3,544090 bliver 2-cyklen frastødende og der kommer i stedet en tiltrækkende 4-cykle.
  • etc. ...
  • For a = 4 ser det kaotisk ud.

Hvordan kan man se på retur-afbildningen at et fixpunkt er tiltrækkende?
- Svaret er at man kan vise, at det afgørende er hældningen på parablen ved fixpunktet (altså dér hvor parablen skærer y = x).
Hældningen af parablen (egentlig tangenten til parablen) kan regnes ud til: 2 - a.
Generelt gælder for iterationer:

  • Hvis hældningen er mellem -1 og 1 er fixpunktet tiltrækkende (1 < a < 3)
  • Hvis hældningen er mindre end -1 eller større end 1 er fixpunktet frastødende (3 < a)
  • Hvis hældningen er -1 eller 1 er tilfældet specielt, fixpunktet kaldes neutralt


Her er vist hældningen ved fixpunktet for to parabler svarende til to tilfælde på hver sin side af
a = 3: a = 2,8 og a = 3,2.
Hældningen for a = 2,8 er større end -1 (2 - a = -0,8), fixpunktet er tiltrækkende,
hældningen for a = 3,2 er mindre end -1  (2 - a = -1,2), fixpunktet er frastødende..

Når a bliver større end 3 fås en 2-cykle.
Hvordan kan man se om en 2-cykle er tiltrækkende?
- Svaret er at man kan lave en retur-afbildning for den iteration der svarer til at tage to skridt i den gamle iteration, en 'dobbelt-iteration'. D.v.s. erstatte hvert x i y = a x (1 - x) med a x (1 - x)!
Det lyder svært, men er til at regne ud, resultatet bliver et såkaldt 4.grads polynomium.
En 2-cykle i den oprindelige iteration bliver til to fixpunkter i dobbelt-iterationen.

Eksempel: For a = 3,4 består 2-cyklen af 0,4520 og 0,8422.
D.v.s. iterationen giver (efter tilstrækkelig tiltrækning mod cyklen): 0,4520 - 0,8422 - 0,4520 - 0,8422 - .....
Dobbelt-iterationen tager dobbelte skridt, så den giver:
0,4520 - 0,4520 - 0,4520 - .....   eller   0,8422 - 0,8422 - 0,8422 - .....

- Det afgørende bliver nu hældningen på grafen for dobbelt-iterationen ved fixpunktet.


Grafen for 'dobbelt-iterationen med a = 3,4. Der er vist to iterations-ruter.
Der er 3 fixpunkter (3 skæringspunkter med linjen y = x).
Det venstre og højre fixpunkt er tiltrækkende, disse to fixpunkter svarer til de 2 punkter i 2-cyklen for den oprindelige iteration.
Det midterste fixpunkt er frastødende, dette fixpunkt er det 'gamle' fixpunkt i den oprindelige iteration.

På denne måde kan iterationernes opførsel beskrives for stigende værdier af a. Det kræver at man undersøger den '4-dobbelte iteration', den '8-dobbelte iteration', etc. Det lyder kompliceret - og er det også. Men den simple iteration (parablen) vi startede med afslører endnu mere kompleksitet!

Nysgerrige er velkomne til at downloade FPRO-filer og undersøge:

  • den 'dobbelte iteration' iteration i FPRO: RETMAP2.FPR
    (3 < a < 3,449490 giver 3 fixpunkter, 2 tiltrækkende, 1 frastødende)
  • den '4-dobbelte iteration' iteration i FPRO: RETMAP4.FPR
    (3,449490 < a < 3,544090 giver 7 fixpunkter, 4 tiltrækkende, 3 frastødende)

Skanning fra a = 1 til a = 4Sidens top

For bedre at forstå hvad der sker med fixpunkter og cykler kan vi benytte et program til at skanne igennem en række tætliggende værdier for a i intervallet fra 1 til 4.
Resultatet bliver vist i et koordinatsystem med x-værdierne på den lodrette akse og a-værdierne på den vandrette akse.

Programmet gennemfører følgende trin:

  1. x startværdi sættes til 0,5 i hele undersøgelsen
  2. Skridtlængden for a, - altså hvor meget a skal ændre sig i hvert skridt - sættes således at pixel-opløsningen på skærmen udnyttes optimalt.
  3. Brugeren vælger et interval for x og et interval for a
  4. a sættes først til 1 eller til en valgt minimums-værdi
  5. Iterationen y = a x (1 - x) og x = y udføres 300 gange for at lave "indsvingning" til tiltrækkende punkter
  6. Iterationen y = a x (1 - x) og x = y udføres 100 gange, og for hver gang afsættes et punkt (a,x) i koordinatsystemet.
  7. a øges med skridtlængden
  8. Trinnene fra 3 til 6 gentages indtil a når op til 4 eller en valgt maksimum-værdi
  9. Brugeren kan ved klik på "More" vælge at få udført yderligere 100 iterationer, etc.


Scanning fra a = 1 til a = 4. (a betegnes r i diagrammet). Vandret akse: a (eller r). Lodret akse: x.
Det tiltrækkende fixpunkt fra a = 1 ses op til a = 3, dernæst 2-cyklen, 4-cyklen, 8-cyklen, etc. Herefter ses en meget kompliceret struktur for a-værdierne op til a = 4.

På opdagelse i figentræetSidens top

Programmet (en java applet) er hentet fra:
http://www.pa.msu.edu/~bauer/applets/Chaos-Feigenbaum/feig.html
Se også om forfatteren: http://www.pa.msu.edu/~bauer/

  • Åbn vinduet med programmet: Feigenbaum java applet
  • Aktivér java applet'en ved klik i vinduet
  • Vælg interval for a - i programmet kaldet r
  • Vælg interval for x
  • Klik på 'Start' og afvent plotning af punkterne
  • Klik evt. på 'More' hvis flere iterationer ønskes

Undersøg figentræet i forskellige intervaller for a, og evt. også forskellige intervaller for x.

Se evt.: Eksempler på hvad man kan opdage

Hvad er figentræet for en slags mængde?Sidens top

  • Overgangen fra ét tiltrækkende fixpunkt til en tiltrækkende 2-cykle eller fra en 2-cykle til en 4-cykle, ... , kaldes en bifurkation (to-deling, gaffel) eller en periode-fordobling.
  • Fra a = 3 til a = 3,56994567... (Feigenbaum parameteren) sker der uendelig mange bifurkationer. Alle 2n-cykler gennemløbes.
  • Ved a = 3,56994567... er alle cykler blevet frastødende. Iterationens x-værdier bevæger sig rundt i en kompliceret punktmængde, Feigenbaum attraktoren som består af værdier imellem alle de frastødende cykler. Feigenbaum attraktoren kaldes også en sær attraktor (strange attraktor).
  • Fra a = 3,56994567... til a = 4 dukker der vinduer op med forskellige antal "sprosser" svarende til f.eks. en 6-cykle, en 5-cykle eller en 3-cykle. Faktisk findes der for alle hele tal k et "k-vindue" med k sprosser svarende til en k-cykle.
  • I et k-vindue findes i starten en k-cykle, men hver af de k sprosser bliver igen til et figentræ med samme struktur som det store figentræ. Derfor er figentræet en fraktal.
  • Vinduerne fylder stort set det hele, de er kun adskilt af enkelte talværdier for a. Disse enkelte a-værdier er alle eksempler på en sær attraktor.
  • For a = 4 fås den sidste sære attraktor, og denne omfatter hele intervallet 0 < x < 1. Iterationen springer rundt mellem attraktorens værdier uden at havne i et eneste af de uendelig mange frastødende cykle-værdier. Til trods for at x-værdierne er fastlagt af formlen for iterationen fremstår springene som en tilfældig bevægelse.
  • Iterationens bevægelse i en sær attraktor kaldes kaotisk, men da den jo er bestemt af en ligning, betegnes fænomenet også deterministisk kaos.
  • Den kaotiske bevægelse har den egenskab at selv om to iterationer starter fra x-værdier som ligger vilkårligt tæt ved hinanden, vil iterationerne senere resultere i vidt forskellige x-værdier - sommerfugle-effekten.

Benyt excel-filen IterFeig01.xls til at undersøge kaotisk adfærd.

Vælg i hver af de tre søjler a = 4 og vælg tre tætliggende x-værdier til start,
f.eks. x = 0,123455, x =0,123456 og x = 0,123457

Eksempler på hvad man kan opdageSidens top

De følgende billeder stammer fra en java applet:
http://www.pa.msu.edu/~bauer/applets/Chaos-Feigenbaum/feig.html

x går lodret stigende op.
a går vandret stigende mod højre. a betegnes r i diagrammet.


Figentræet fra a = 2.8 til a = 4


De første cykler 2, 4, 8, ... (bifurkationer)


3-vinduet med 3 nye små figentræer


5-vindue


Et af figentræerne i 5-vinduet


Kaos-områder med vinduer (eller rettere: vinduer adskilt af kaos)

Se svingningerneSidens top

De følgende grafer viser hvordan x svinger som funktion af antallet af iterationer n, alle med start i x = 0,1. Vi ser de første 30 skridt, undtagen for sidste graf som viser de første 100 skridt for a = 4 (kaos).
Billederne er lavet ved hjælp af FPRO-filen SVING1.FPR.


a = 2,9 (1 tiltrækkende fixpunkt)


a = 3,2 (2-cykle)


a = 3,5 (4-cykle)


a = 3,56 (8-cykle)


a = 4 (kaos)


a = 4 (kaos, de første 100 skridt)

Se videre: Hvor lang er Englands kyst?

Opdateret 6-08-2009 , TM

 
Sidens top